首先需要二项式定理:
(a+b)^n=∑C(i=0–>i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)
用数学归纳法证此定理:
n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此,n=1时,式一成立。
设n1为任一自然数,假设n=n1时,(式一)成立,即:
(a+b)^n1=∑C(i=0–>i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)
则,当n=n1+1时:
式二两端同乘(a+b)
[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑C(i=0–>i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i]*(a+b)
=>(a+b)^(n1+1)=∑C(i=0–>i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(据乘法分配律)
因此二项式定理(即式一成立)
下面用二项式定理计算这一极限:
(1+1/n)^n(式一)
用二项式展开得:
(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3+…+[(n(n-1)(n-2)…3)/((n-2)(n-1)…2*1)]*(1/n)^(n-2)+[(n(n-1)(n-2)…3*2)/((n-1)(n-2)(n-1)…2*1)]*(1/n)^(n-1)+[(n(n-1)(n-2)…3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1)…2*1)]*(1/n)^n
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同,而系数为1,因此,最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约,得1,低次项与1/n的相应次方相约后,分子剩下常数,而分母总余下n的若干次方,当n->+∞,得0。因此总的结果是当n->+∞,二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约,得1。余下分母。于是式一化为:
(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)
当n->+∞时,你可以用计算机,或笔计算此值。这一数值定义为e。
补充:
将式二和公比为1/2的等比数列比较,其每一项都小于此等比数列,而此等比数列收敛,因此,式二必定收敛于一固定数值。