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【如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,(Ⅰ)证明:AP⊥BC;(Ⅱ)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?】
更新时间:2024-04-26 08:05:04
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问题描述:

如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,
(Ⅰ)证明:AP⊥BC;
(Ⅱ)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由。

倪彬回答:
  (Ⅰ)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得AD⊥BC,又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC,因为PO∩BC=O,所以BC⊥平面PAD,故BC⊥PA。(Ⅱ)如图,在平面PAD内作BM⊥PA于M,连结CM,由(Ⅰ)中知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC,又AP平面APC,所以平面BMC⊥平面APC,在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB=;在Rt△POD中,PB2=PO2+OD2,在Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2,所以PB2=PO2+OD2+BD2=36,得PB=6;在Rt△POA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5,又,从而,所以AM=PA-PM=3;综上所述,存在点M符合题意,AM=3。
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