在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA=PD=3，PD⊥CD．E为AB中点．（Ⅰ）证明：PE⊥CD；（Ⅱ）求二面角C-PE-D的正切值．
更新时间：2024-04-27 12:12:45
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问题描述：
在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA=PD=3，PD⊥CD．E为AB中点．
（Ⅰ）证明：PE⊥CD；
（Ⅱ）求二面角C-PE-D的正切值．
孟燕燕回答：
满分（15分）．
（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，因为∠BAD=60°，E为AB的中点，可得
DE⊥CD，
又因为PD⊥CD，所以
CD⊥平面PDE，∵PE⊂平面PDE，
因此PE⊥CD． …（5分）
（Ⅱ）方法一：
过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH．由CD⊥平面PDE，得
CH⊥PE，
所以∠CHD是二面角C-PE-D的平面角．
由PE⊥CD，AB∥CD，可得
PE⊥AB，
由E为AB中点，PA=3，所以PE=22
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