先说一下，a^b表示a的b次方，于是89个143相乘写成143^89。 　　不清楚你是否学过同余，如果学过，见方法二和方法三；如果没学过，见方法一。 　　方法一：找规律： 　　先铺垫一个性质。 　　—————————————————————— 　　乘积的余数相当于余数乘积的余数。 　　—————————————————————— 　　下面证明。 　　假设 　　p÷a=b……c 　　q÷a=d……e 　　那么 　　p=ab+c，q=ad+e 　　pq=aabd+abe+adc+ce 　　注意到，aabd+abe+adc是a的倍数 　　因而pd÷a的余数相当于ce÷a的余数。 　　回到这个问题。 　　143÷7=20……3 　　因而，143^89÷7的余数相当于3^89÷7的余数。 　　3^1÷7=？……3 　　3^2÷7=？……2 　　3^3÷7=？……6 　　3^4÷7=？……4 　　3^5÷7=？……5 　　3^6÷7=？……1 　　3^7÷7=？……3 　　3^8÷7=？……2 　　3^9÷7=？……6 　　3^10÷7=？……4 　　3^11÷7=？……5 　　3^12÷7=？……1 　　3^13÷7=？……3 　　3^14÷7=？……2 　　3^15÷7=？……6 　　... 　　可以看出，这个是周期问题，周期=6 　　而89÷6=？……5 　　因而3^189÷7对应着3^5÷7=？……5 　　—————————————————————————————————————————— 　　方法二：同余 　　143^89（mod7） 　　≡3^89 　　≡(3^2)^44×3 　　≡9^44×3 　　≡2^44×3 　　≡(2^3)^14×2^2×3 　　≡8^14×12 　　≡1^14×5 　　≡5 　　_____________________________________________________________ 　　方法三：费马小定理 　　对于质数p，对任意不是p的倍数a都有：a^(p-1)≡1（modp） 　　那么 　　3^6≡1（mod7） 　　于是 　　(3^6)^14×3^5≡1×3^5（mod7） 　　3^5≡5（mod7） 　　【经济数学团队为你解答！】