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【在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆的离心率为根号2/2,左焦点为F,过原点的直线l交椭圆于M、N两点三角形MNF面积的最大值为1,设P、A、B是椭圆上异于顶点的三点,Q(m,n)是单位圆x2+y2=1上任意一点,】
更新时间:2024-05-05 02:06:27
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问题描述:

在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆的离心率为根号2/2,左焦点为F,过原点的直线l交椭圆于M、N两点

三角形MNF面积的最大值为1,设P、A、B是椭圆上异于顶点的三点,Q(m,n)是单位圆x2+y2=1上任意一点,使向量OP=m向量OA+n向量OB,求证:直线OA与向量OB的斜率之积为定值

阮绍骏回答:
  设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),把点A,B代入椭圆方程可得x212+y21=1③,x222+y22=1④,又Q(m,n)是单位圆x2+y2=1上任一点可得m2+n2=1⑤,   由OP=mOA+nOB,得到x=mx1+nx2y=my1+ny2.因P在椭圆上,故(mx1+nx2)22+(my1+ny2)2=1. 把③④⑤代入上式即可得出x1,y1,x2,y2,满足的式子即可证明结论;   ②利用①的结论kOAkOB=y1y2x1x2=−12为定值.可得故y21+y22=1. 及 又(x212+y21)+(x222+y22)=2,可得x21+x22=2.故可证明OA2+OB2=x21+y21+x22+y22为定值.
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