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数学圆锥曲线椭圆已知中心在原点,焦点在Y轴上,长轴为6,离心率是三分之二根号二,试问是否存在直线,使直线与椭圆交于不同两点A.B,且直线AB恰好被直线X=-1/2平分?若存在,求直线倾角的范围
更新时间:2022-09-28
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问题描述:

数学圆锥曲线椭圆

已知中心在原点,焦点在Y轴上,长轴为6,离心率是三分之二根号二,试问是否存在直线,使直线与椭圆交于不同两点A.B,且直线AB恰好被直线X=-1/2平分?若存在,求直线倾角的范围

孟宪松回答:
  x^2/a^2+y^2/b^2=1   b=3e^2=c^2/b^2=(b^2-a^2)/b^2=1-a^2/b^2=8/9   1-a^2/9=8/9a^2=1a=1   所以x^2+y^2/9=1   设直线AB中点为P(-1/2,m)   AB:y-m=k(x+1/2)   y=m+k(x+1/2)   x^2+(m+k(x+1/2))^2/9=1   x^2+k^2(x^2+x+1/4)/9+m^2/9+2mk(x+1/2)/9-1=0   x^2(k^2/9+1)+x(k^2/9+2mk/9)+m^2/9+k^2/36+mk/9-1=0   x1+x2=-(k^2/9+2mk/9)/(k^2/9+1)=-1   k^2/9+2mk/9=k^2/9+1   2mk=9.(1)   k=9/(2m)   其中x=-1/2时1/4+y^2/9=1y^2/9=3/4y^2=27/4   -3/2*根号3=
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