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如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,CA=4,∠ABC的角平分线BD交AC于点D,点E是线段AB上的一点,以BE为直径的圆O过点D.(1)求证:AC是圆O的切线;(2)求AE的长.
更新时间:2024-04-24 20:36:11
1人问答
问题描述:

如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,CA=4,∠ABC的角平分线BD交AC于点D,点E是线段AB上的一点,以BE为直径的圆O过点D.

(1)求证:AC是圆O的切线;

(2)求AE的长.

林健回答:
  (1)证明:连接OD,   ∵OD=OB,   ∴∠ODB=∠OBD;   ∵BD平分∠ABC,   ∴∠OBD=∠CBD,即∠ODB=∠CBD,   ∴OD∥BC,   ∵BC⊥AC,   ∴OD⊥AC;   又∵点D在⊙O上,   ∴AC是⊙O的切线.   (2)Rt△ABC中,AC=4,BC=3,则AB=5;   在Rt△AOD中,设AD=4x,则OD=3x,OA=5x;   ∵OE=OD=3x,   ∴AE=OA-OE=2x,   由于AB=AE+BE=2x+6x=5,故x=58
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