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定义在对称区间(-l,l)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和,证明这种表示方法是唯一的
更新时间:2024-04-18 12:44:37
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问题描述:

定义在对称区间(-l,l)上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和,证明这种表示方法是唯一的

葛藤回答:
  f(x)=(f(x)-f(-x))/2+(f(x)+f(-x))/2   记g(x)=(f(x)-f(-x))/2是奇函数,h(x)=(f(x)+f(-x))/2是偶函数,这是存在性.   再证唯一性   若有g'(x)是奇函数,h'(x)是偶函数.   满足和为f(x),   则有g(x)-g'(x)=h'(x)-h(x)   左边是奇函数,右边是偶函数.   那么g(x)-g'(x)=h'(x)-h(x)=0   唯一性得证
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