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如图1,菱形ABCD中,∠A=60°,点P从A出发,以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止,点Q从A与P同时出发,沿边AD匀速运动到D终止,设点P运动的时间为t(s).△APQ的面积与t(s)之间函数关系的
更新时间:2024-03-28 20:40:32
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问题描述:

如图1,菱形ABCD中,∠A=60°,点P从A出发,以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止,点Q从A与P同时出发,沿边AD匀速运动到D终止,设点P运动的时间为t(s).△APQ的面积与t(s)之间函数关系的图象由图2中的曲线段OE与线段EF、FG给出.

(1)求点Q运动的速度;____

(2)求图2中线段FG的函数关系式;____

(3)问:是否存在这样的t,使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:5的两部分?若存在,求出这样的t的值;若不存在,请说明理由.____

陆皖宁回答:
  【分析】(1)E点表示点P运动到与点B重合时的情形,运动时间为3s,可得AB=6cm;再由,可求得AQ的长度,进而得到点Q的运动速度;   n(2)函数图象中线段FG,表示点Q运动至终点D之后停止运动,而点P在线段CD上继续运动的情形.如答图2所示,求出S的表达式,并确定t的取值范围;   n(3)当点P在AB上运动时,PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分,如答图3所示,求出t的值;当点P在BC上运动时,PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分,如答图4所示,求出t的值.   (1)由题意,可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形,所用时间为3s,   n则菱形的边长AB=2×3=6cm.   n此时如答图1所示:   nAQ边上的高(cm),   n∴,   n解得AQ=3(cm),   n∴点Q的运动速度为:3÷3=1(cm/s).   n(2)由题意,可知题图2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形.如答图2所示:   n点Q运动至点D所需时间为:6÷1=6(s),点P运动至点C所需时间为12÷2=6(s),至终点D所需时间为18÷2=9(s).   n因此在FG段内,点Q运动至点D停止运动,点P在线段CD上继续运动,且时间t的取值范围为:6≤t≤9.   n如图,过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E,   n则,   ,   n∴FG段的函数表达式为:(6≤t≤9).   n(3)菱形ABCD的面积为:.   n当点P在AB上运动时,PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分,如答图3所示.   n此时△APQ的面积.   n根据题意,得,   n解得;   n当点P在BC上运动时,PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分,如答图4所示.   n此时,有,即,   n解得.   n∴存在和,使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:5的两部分.   【点评】本题是运动型综合题,考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点.解题关键是深刻理解动点的函数图象,了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过程.
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