当前位置 :
一道有关有理数的数学题建立递推公式求Sn=2^3+5^3+8^3+…+(3n-1)^3.(请写出详细的过程和解析,别写太深奥的,要不我看不懂)谢了!
更新时间:2024-04-23 16:38:29
1人问答
问题描述:

一道有关有理数的数学题

建立递推公式求Sn=2^3+5^3+8^3+…+(3n-1)^3.(请写出详细的过程和解析,别写太深奥的,要不我看不懂)谢了!

李潭回答:
  (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3   (3n-1)^3=27n^3-27n^2+9n-1   Sn=27*(1^3+2^3+..+n^3)-27*(1^2+2^+..+n^2)+9*(1+2+.+n)-n   其中:   1^3+2^3+..+n^3=[n*(n+1)/2]^2   1^2+2^2+..+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6   1+2+.+n=n*(1+n)/2   代入,即可!   补充关于自然数列立方和公式的推导   即1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2   (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]   =(2n^2+2n+1)(2n+1)   =4n^3+6n^2+4n+1   2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1   3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1   4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1   .   (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1   各式相加有   (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n   4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n=[n(n+1)]^2   1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2   补充关于平方和的推导:   1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6   利用立方差公式   n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]   =n^2+(n-1)^2+n^2-n   =2*n^2+(n-1)^2-n   2^3-1^3=2*2^2+1^2-2   3^3-2^3=2*3^2+2^2-3   4^3-3^3=2*4^2+3^2-4   .   n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n   各等式全相加   n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)   n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)   n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1   n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2   3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)   =(n/2)(n+1)(2n+1)   1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
数学推荐
数学推荐
最新更新
热门数学
查询网(ip1138.com)汇总了汉语字典,新华字典,成语字典,组词,词语,在线查字典,中文字典,英汉字典,在线字典,康熙字典等等,是学生查询学习资料的好帮手,是老师教学的好助手。
声明:本网站尊重并保护知识产权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果我们转载的作品侵犯了您的权利,请在一个月内通知我们,我们会及时删除。

邮箱:  联系方式:

Copyright©2009-2021 查询网 ip1138.com 版权所有 闽ICP备2021002823号-3