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【如图,已知菱形ADEF和等腰三角形ABC,AB=AC,∠BAC=54°,点B、C分别在DE、EF.(B、C分别不与E、F重合)(1)如图1,当AE平分∠BAC时,①求证:BD=CF;②当AD=AB时,求∠ABD的度数;(2)如图2,当】
更新时间:2024-03-29 20:05:42
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问题描述:

如图,已知菱形ADEF和等腰三角形ABC,AB=AC,∠BAC=54°,点B、C分别在DE、EF.(B、C分别不与E、F重合)

(1)如图1,当AE平分∠BAC时,

①求证:BD=CF;

②当AD=AB时,求∠ABD的度数;

(2)如图2,当AE不平分∠BAC时,若△ADB是一个等腰三角形,求∠ABD的度数.

李才回答:
  (1)①证明:∵AE平分∠BAC,   ∴∠BAE=∠CAE,   又∵AB=AC,AE=AE,   ∴△ABE≌△ACE,(2分)   ∴BE=CE,   ∵四边形ADEF是菱形,   ∴DE=EF,   ∴DB=CF,(5分)   ②当AD=AB时,设∠D=x°,得∠FAC=∠DAB=(180-2x)°,(6分)   由AF∥DE得∴x+2(180-2x)+54=180,   解得x=78∴∠ABD=78°;(9分)   (2)过点A作AM⊥DE于点M,AN⊥EF于点N,由AE平分∠DEF得AM=AN,   又∵AB=AC,   ∴Rt△AMB≌Rt△ANC,   ∴∠MAB=∠NAC,   ∴∠MAN=∠BAC,   又∵∠MAN+∠MEN=180°,∠D+∠MEN=180°,   ∴∠D=∠MAN=∠BAC=54°,(11分)   若△ADB是一个等腰三角形,下面分三种情况讨论:   Ⅰ.当BD=BA时,得∠D=∠DAB=54°   解得∠ABD=72°,(12分)   Ⅱ.当AD=AB时,得∠ABD=∠D=54°,   由∠BAC=54°得AC∥DE,   ∴AC与AF重合,这与AC与AF不重合矛盾,   ∴此种情况不存在.   Ⅲ.因为DA不可能等于DB,所以第三种情况不存在.   综上所述:当△ADB是一个等腰三角形时,∠ABD的度数等于72°.(13分)
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