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【如图①,已知抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,是△CMP为等腰三角形?若存】
更新时间:2024-03-29 04:17:02
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问题描述:

如图①,已知抛物线y=ax²+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C

(1)求抛物线的解析式

(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,是△CMP为等腰三角形?若存在请直接写出所有符合条件的点P的坐标,不存在请说明理由

(3)如图二,若点E为第二象限抛物线上一动点,链接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标

自己画的图不好,大概就那样

宋瀚涛回答:
  1)   将A(1,0),B(-3,0)代人y=ax²+bx+3,得,   a+b+3=0,   9a-3b+3=0,   解得a=-1,b=-2   抛物线为y=-x²-2x+3=-(x+1)²+4   所以对称轴为x=-1,M(-1,0)   由C(0,3)   在直角三角形OCM中,由勾股定理,得,CM=√10   以M为圆心,√10为半径画弧,交对称轴于点P,   此时有MP=MC,   有两个点符合要求,即(-1,√10),(-1,-√10)   以C为圆心,√10为半径画弧,交对称轴于点P,   此时CP=CM,即P(-1,6)   作CM的垂直平分线交对称轴于点P,   此时PC=PM,   解得P(-1,5/3)   所以符合条件的点有3个   2)   设E(x,-x²-2x+3),其中x<0,-x²-2x+3>0,   连OE,   S△BOE=(1/2)*BO*(-x²-2x+3)=(3/2)(-x²-2x+3)   S△COE=(1/2)*CO*(-x)=(-3/2)x   所以四边形BOCE面积   =S△BOE+S△COE   =(3/2)(-x²-2x+3)+(-3/2)X   =(-3/2)x²-(9/2)x+9/2   当x=-3/2时,有最大面积,此时E(-3/2,15/4)
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