【如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，平面A′BC⊥侧面A′ABB′．（Ⅰ）求证：AB⊥BC；（Ⅱ）设点M是线段A′C′中点，点N是线段A′C中点，若AB=BC=AA′=2，求四棱锥C-MNBB′的体积．】
更新时间：2024-04-19 09:36:20
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问题描述：
如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，平面A′BC⊥侧面A′ABB′．
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）设点M是线段A′C′中点，点N是线段A′C中点，若AB=BC=AA′=2，求四棱锥C-MNBB′的体积．
刘晓芬回答：
（I）证明：如图，作A在A′B上的射影D．
∵平面ABC⊥侧面A′ABB′，且平面A′BC∩侧面A′ABB′=A′B，
∴AD⊥平面A′BC．
∵BC⊂平面A′BC，∴AD⊥BC，
∵三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱，
∴AA′⊥底面ABC，
∴AA′⊥BC．
又AA′∩AD=A，∴BC⊥侧面A′ABB′，AB⊂侧面A′ABB′，
故AB⊥BC．
（II）延长MN交AC于点G，MN为△AC′C的中位线．
∴MN∥CC′，
∵CC′⊥面ABC，
∴MN⊥面ABC，
∵AC⊂面ABC，∴MN⊥AC，
∵AB=BC，G为中点，∴BG⊥AC．
∵BG∩MN=G，
∴AC⊥面BGN，即CG为四棱锥C-MNBB′的高．
∵CG＝12AC＝12
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