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高一数学设a(向量)=(1+cosA,sinA),b(向量)=(1-cosB,sinB),c(1,0),其中A属于(0,π),B属于(π,2π),且a与c的夹角为C,b与c的夹角为D.若C-D=π/6,求A-B的值.
更新时间:2024-04-26 01:13:12
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高一数学

设a(向量)=(1+cosA,sinA),b(向量)=(1-cosB,sinB),c(1,0),其中A属于(0,π),B属于(π,2π),且a与c的夹角为C,b与c的夹角为D.若C-D=π/6,求A-B的值.

常征回答:
  向量a=(1+cosA,sinA)=(2cos^2A/2,2sinA/2cosA/2)=2cosA/2(cosA/2,sinA/2)   向量b=(1-cosB,sinB)=(2sin^2B/2,2sinB/2cosB/2)=2sinB/2(sinB/2,cosA/2)   ∴|向量a|=2cosA/2,|向量b|=2sinB/2   而向量a·向量c=(1+cosA,sinA)·(1,0)=1+cosA   向量b·向量c=(1-cosB,sinB)·(1,0)=1-cosB   ∴cosC=向量a·向量c/(|向量a|·|向量c|)=(1+cosA)/(2cosA/2×1)=cosA/2   ∵0<A<π   ∴0<A/2<π/2   ∴C=A/2   cosD=向量b·向量c/(|向量b|·|向量c|)=(1-cosB)/(2sinB/2×1)=sinB/2   ∵π<B<2π   ∴π/2<B/2<π   ∴cosD=sinB/2=cos(B/2-π/2)   ∴D=B/2-π/2   ∴A/2-(B/2-π/2)=π/6   即:A-B=-2π/3
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