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【如图,AB是⊙O的直径,且点C为⊙O上的一点,∠BAC=30°,M是OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且∠ECF=∠E.(1)证明:CF是⊙O的切线;(2)设⊙O的半】
更新时间:2024-04-25 12:28:07
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问题描述:

如图,AB是⊙O的直径,且点C为⊙O上的一点,∠BAC=30°,M是OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且∠ECF=∠E.

(1)证明:CF是⊙O的切线;

(2)设⊙O的半径为1,且AC=CE,求MO的长.

陈少幸回答:
  (1)证明:如图,连接OC,   ∵AB是⊙O的直径,   ∴∠ACB=90°,   ∵∠BAC=30°,   ∴∠ABC=60°;   在Rt△EMB中,∵∠E+∠MBE=90°,   ∴∠E=30°;   ∵∠E=∠ECF,   ∴∠ECF=30°,   ∴∠ECF+∠OCB=90°;   ∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°,   ∴∠OCF=90°,   ∴CF为⊙O的切线;   (2)在Rt△ACB中,∠A=30°,∠ACB=90°,   ∴AC=ABcos30°=3
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