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【已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式:X1^2/(X1+X2)+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)>=1/2X1、X2、X3、...、Xn是正数】
更新时间:2024-03-28 20:35:56
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问题描述:

已知X1+x2+X2+...+Xn=1,证明不等式:X1^2/(X1+X2)+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)>=1/2

X1、X2、X3、...、Xn是正数

梁超时回答:
  解答如下:   证法一:均值不等式.   X1^2/(X1+X2)+(X1+X2)/4≥2根号[X1^2/(X1+X2)×(X1+X2)/4]=X1   X2^2/(X2+X3)+(X2+X3)/4≥2根号[X2^2/(X2+X3)×(X2+X3)/4]=X2   ……   Xn^2/(Xn+X1)+(Xn+X1)/4≥2根号[Xn^2/(Xn+X1)×(Xn+X1)/4]=Xn   将上述n个不等式分别两边相加,得   X1^2/(X1+X2)+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)+(X1+X2+X3+...+Xn)/2≥X1+X2+X3+...+Xn,即   X1^2/(X1+X2)+X2^2/(X2+X3)+X3^2/(X3+X4)+.+Xn^2/(Xn+X1)≥(X1+X2+X3+...+Xn)/2=1/2,得证.   证法二:柯西不等式.   (a1^2+a2^2+.+an^2)×(b1^2+b2^2+.+bn^2)≥(a1×b1+a2×b2+.+an×bn)^2   只要取a1=X1/根号(X1+X2),a2=X2/根号(X2+X3),……,an=Xn/根号(Xn+X1),b1=根号(X1+X2),b2=根号(X2+X3),……,bn=根号(Xn+X1),再用条件X1+X2+X3+...+Xn=1即得证.
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