已知圆C:(x-1)的平方+(y-1)的平方=1求过点p(8,2)与圆相切的直线方程?这道题可以用导数来解的虽然求起来比较费劲但绝对是计算量最小哒把圆分成上下两部分分别求导其实求一个就够了另
更新时间：2023-11-28 20:37:54
1人问答
问题描述：
已知圆C:(x-1)的平方+(y-1)的平方=1求过点p(8,2)与圆相切的直线方程?
这道题可以用导数来解的虽然求起来比较费劲但绝对是计算量最小哒
把圆分成上下两部分分别求导其实求一个就够了另一个直接列y=2
然后利用切点导数为斜率列出直线方程把8.2代入就好啦
上面一个下面一个我的思路是先把p(8,2)带入圆的方程可以知道算出是大于1有两条切线我的思路对吗?还有就是对于答案中的直接看出y=2是知道的?
刘朝涛回答：
最常规方法：
设直线方程为y-2=k(x-8)
变为一般式kx-y-8k+2=0
点(1,1)到直线的距离为
d=|k-1-8k+2|/√(k²+1)=1
|k-1-8k+2|=√(k²+1)
两边平方
|k-1-8k+2|²=k²+1
(1-7k)²=k²+1
1-14k+49k²=k²+1
48k²-14k=0
k=0或k=7/24
直线方程为：y=2或7x-24y-8=0
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你的方法:
下半圆方程y=1-√(2x-x²)
其导数为y'=(x-1)/√(2x-x²)=(x-1)/(1-y)
设直线与圆相切于点(m,n),则直线斜率为
k=y'=(m-1)(1-n)=(n-2)(m-8)
点(m,n)在圆上
(m-1)²+(n-1)²=1
联解求出m=1.28,n=0.04
所以k=(1.28-1)(1-0.04)=7/24
再补充上半圆的切点(1,2),k=0
直线方程为：y=2或7x-24y-8=0
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我的方法：
设直线方程为y=k(x-8)+2
代入圆的方程得
(x-1)²+[k(x-8)+1]²=1
展开
x²-2x+1+k²(x-8)²+2k(x-8)+1=1
x²-2x+1+k²x²-16k²x+64k²+2kx-16k+1=1
再化成一元二次方程的标准式
(1+k²)x²-(2+16k²-2k)x+(1+64k²-16k)=0
圆与直线只有一个交点,故该方程只有一个根
判别式△=b²-4ac=0
(2+16k²-2k)²-4(1+k²)(1+64k²-16k)=0
4(8k²-k+1)²-4(64k^4-16k³+65k²-16k+1)=0
(64k^4-16(k-1)k²+(k-1)²)-(64k^4-16k³+65k²-16k+1)=0
(16k²+(k-1)²)-(65k²-16k+1)=0
(17k²-2k+1)-(65k²-16k+1)=0
48k²-14k=0
k=0或k=7/24
直线方程为：y=2或y=(7/24)x-1/3
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常规方法最有效快速；你的方法对于求切点坐标可能会快点；我的方法计算量大,易出错,不建议采用,不过作为一题多解,还是有点价值的^_^
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