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求2013年广东省珠海市数学中考第21道题答案要详细过程
更新时间:2024-03-29 18:13:17
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求2013年广东省珠海市数学中考第21道题答案要详细过程

曹永宾回答:
  21.(9分)(2013•珠海)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P′),当AP旋转至AP′⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时作P′E⊥AC于点E.(1)求证:∠CBP=∠ABP;(2)求证:AE=CP;(3)当   ,BP′=5   时,求线段AB的长.   (1)证明:∵AP′是AP旋转得到,   ∴AP=AP′,   ∴∠APP′=∠AP′P,∵∠C=90°,AP′⊥AB,   ∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°,又∵∠BPC=∠APP′(对顶角相等),∴∠CBP=∠ABP;   (2)证明:如图,过点P作PD⊥AB于D,∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,∴CP=DP,∵P′E⊥AC,   ∴∠EAP′+∠AP′E=90°,又∵∠PAD+∠EAP′=90°,∴∠PAD=∠AP′E,   在△APD和△P′AE中,   ∴△APD≌△P′AE(AAS),∴AE=DP,∴AE=CP;   (3)∵   =,   ∴设CP=3k,PE=2k,   则AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k,   在Rt△AEP′中,P′E=   =4k,   ∵∠C=90°,P′E⊥AC,   ∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠P′PE=90°,∵∠BPC=∠EPP′(对顶角相等),∴∠CBP=∠P′PE,   又∵∠BAP′=∠P′EP=90°,∴△ABP′∽△EPP′,∴=   ,即   =,   解得P′A=AB,   在Rt△ABP′中,AB2   +P′A2   =BP′2   ,即AB2   +AB2   =(5)2   ,   解得AB=10.
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