21.(9分)(2013•珠海)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P′),当AP旋转至AP′⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时作P′E⊥AC于点E.(1)求证:∠CBP=∠ABP;(2)求证:AE=CP;(3)当
,BP′=5
时,求线段AB的长.
(1)证明:∵AP′是AP旋转得到,
∴AP=AP′,
∴∠APP′=∠AP′P,∵∠C=90°,AP′⊥AB,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°,又∵∠BPC=∠APP′(对顶角相等),∴∠CBP=∠ABP;
(2)证明:如图,过点P作PD⊥AB于D,∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,∴CP=DP,∵P′E⊥AC,
∴∠EAP′+∠AP′E=90°,又∵∠PAD+∠EAP′=90°,∴∠PAD=∠AP′E,
在△APD和△P′AE中,
∴△APD≌△P′AE(AAS),∴AE=DP,∴AE=CP;
(3)∵
=,
∴设CP=3k,PE=2k,
则AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k,
在Rt△AEP′中,P′E=
=4k,
∵∠C=90°,P′E⊥AC,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠P′PE=90°,∵∠BPC=∠EPP′(对顶角相等),∴∠CBP=∠P′PE,
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°,∴△ABP′∽△EPP′,∴=
,即
=,
解得P′A=AB,
在Rt△ABP′中,AB2
+P′A2
=BP′2
,即AB2
+AB2
=(5)2
,
解得AB=10.