数学悖论与三次数学危机 　　陈基耿 　　摘要：数学发展从来不是完全直线式的,而是常常出现悖论.历史上一连串的 　　数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰,数学史上曾经发生了三次数学危机.数学悖论的产生和危机的出现,不单给数学带来麻烦和失望,更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望,促进了数学的繁荣.危机产生、解决、又产生的无穷反复过程,不断推动着数学的发展,这个过程也是数学思想获得重要发展的过程. 　　关键词：数学悖论；数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克莱悖论；罗素悖论 　　数学历来被视为严格、和谐、精确的学科,纵观数学发展史,数学发展从来不是完全直线式的,他的体系不是永远和谐的,而常常出现悖论.悖论是指在某一一定的理论体系的基础上,根据合理的推理原则,推出了两个互相矛盾的命题,或者是证明了这样一个复合命题,它表现为两个互相矛盾的命题的等价式[1].数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事,因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑,而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话,甚至涉及到整个学科的基础时,这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感,特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇.数学史上曾经发生过三次数学危机,每次都是由一两个典型的数学悖论引起的.本文回顾了历史上发生的三次数学危机,重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用. 　　1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 　　1.1第一次数学危机的内容 　　公元前六世纪,在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派,其思想在当时被认为是绝对权威的真理,毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点,他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2].他们认为万物皆数,而数只有两种,就是正整数和可通约的数（即分数,两个整数的比）,除此之外不再有别的数,即是说世界上只有整数或分数. 　　毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3],也就是我们所说的勾股定理.勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系,即a2=b2+c2,a和b分别代表直角三角形的两条直角边,c表示斜边. 　　然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题.他发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示.假设正方形边长为1,并设其对角线长为d,依勾股定理应有d2=12+12=2,即d2=2,那么d是多少呢?显然d不是整数,那它必是两整数之比.希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比,结果没找着,反而找到了两数不可通约性的证明[4],用反证法证明如下：设Rt△ABC,两直角边为a=b,则由勾股定理有c2=2a2,设已将a和c中的公约数约去,即a、c已经互素,于是c为偶数,a为奇数,不妨令c=2m,则有(2m)2=2a2,a2=2m2,于是a为偶数,这与前面已证a为奇数矛盾.这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论. 　　1.2第一次数学危机的影响 　　毕达哥拉斯悖论的出现,对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击,“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战,因此也影响到了整个数学的基础,使数学界产生了极度的思想混乱,历史上称之为第一次数学危机. 　　第一次数学危机的影响是巨大的,它极大的推动了数学及其相关学科的发展.首先,第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在,无理数从此诞生了,之后,许多数学家正式研究了无理数,给出了无理数的严格定义,提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数,并建立了完整的实数理论[5],为数学分析的发展奠定了基础.再者,第一次数学危机表明,直觉和经验不一定靠得住,推理证明才是可靠的,从此希腊人开始重视演绎推理,并由此建立了几何公理体系.欧氏几何就是人们为了消除矛盾,解除危机,在这时候应运而生的[6].第一次数学危机极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础,这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命.　 　　2贝克莱悖论与第二次数学危机 　　2.1第二次数学危机的内容 　　公元17世纪,牛顿和莱布尼兹创立了微积分,微积分能提示和解释许多自然现象,它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视.然而,因为微积分才刚刚建立起来,这时的微积分只有方法,没有严密的理论作为基础,许多地方存在漏洞,还不能自圆其说. 　　例如牛顿当时是这样求函数y＝xn的导数的[7]：（x＋△x）n＝xn＋n•xn-1•△x＋[n（n+1）/2]•xn-2•(△x)2＋……＋（△x）n,然后用自变量的增量△x除以函数的增量△y,△y/△x＝[（x＋△x）n－xn]/△x＝n•xn-1＋[n（n-1）/2]•xn-2•△x＋……＋n•x•（△x）n-2＋（△x）n-1,最后,扔掉其中含有无穷小量△x的项,即得函数y=xn的导数为y′=nxn-1. 　　对于牛顿对导数求导过程的论述,哲学家贝克莱很快发现了其中的问题,他一针见血的指出：先用△x为除数除以△y,说明△x不等于零,而后又扔掉含有△x的项,则又说明△x等于零,这岂不是自相矛盾吗?因此贝克莱嘲弄无穷小是“逝去的量的鬼魂”,他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果,说微积分的推导是“分明的诡辩”.[8]这就是著名的“贝克莱悖论”. 　　确实,这种在同一问题的讨论中,将所谓的无穷小量有时作为0,有时又异于0的做法,不得不让人怀疑.无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础,引起了数学界长达两个多世纪的论战,从而形成了数学发展史中的第二次危机. 　　2.2第二次数学危机的影响[8] 　　第二次数学危机的出现,迫使数学家们不得不认真对待无穷小量△x,为了克服由此引起思维上的混乱,解决这一危机,无数人投入大量的劳动.在初期,经过欧拉、拉格朗日等人的努力,微积分取得了一些进展；从19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题,柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作.微积分内在的根本矛盾,就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小,从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质.在解决使无穷小数学化的问题上,出现了罗比达公理：一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量,则可认为它保持不变.而柯西采用的ε－δ方法刻画无穷小,把无穷小定义为以0为极限的变量,沿用到今,无穷小被极限代替了.后来外尔斯特拉斯又把它明确化,给出了极限的严格定义,建立了极限理论,这样就使微积分建立在极限基础之上了.极限的ε－δ定义就是用静态的ε－δ刻画动态极限,用有限量来描述无限性过程,它是从有限到无限的桥梁和路标,它表现了有限与无限的关系,使微积分朝科学化、数学化前进了一大步.极限理论的建立加速了微积分的发展,它不仅在