典含义读音：shíshù英语：realnumber 　　（一）数学名词.有理数和无理数的总称. 　　（二）确实的数字.【例】公司到底还有多少钱?请你告诉我实数![编辑本段]数学术语[编辑本段]1、基本概念实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数. 　　数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数.本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”. 　　实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类,或正数,负数和零三类.实数集合通常用字母R或R^n表示.而R^n表示n维实数空间.实数是不可数的.实数是实分析的核心研究对象. 　　实数可以用来测量连续的量.理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的,也可以是非循环的）.在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位,n为正整数）.在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示. 　　①相反数（只有符号不同的两个数,我们就说其中一个是另一个的相反数）实数a的相反数是-a 　　②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离）实数a的绝对值是： 　　|a|=①a为正数时,|a|=a 　　②a为0时,|a|=0 　　③a为负数时,|a|=-a 　　③倒数（两个实数的乘积是1,则这两个数互为倒数）实数a的倒数是：1/a（a≠0）[编辑本段]2、历史来源埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了.在公元前500年左右,以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性.印度人于公元600年左右发明了负数,据说中国也曾发明负数,但稍晚于印度. 　　直到17世纪,实数才在欧洲被广泛接受.18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来.直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义.[编辑本段]3、相关定义从有理数构造实数 　　实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如{3,3.1,3.14,3.141,3.1415,…}所定义的序列的方式而构造为有理数的补全.实数可以不同方式从有理数构造出来.这里给出其中一种,其他方法请详见实数的构造. 　　公理的方法 　　设R是所有实数的集合,则： 　　集合R是一个域：可以作加、减、乘、除运算,且有如交换律,结合律等常见性质. 　　域R是个有序域,即存在全序关系≥,对所有实数x,y和z： 　　若x≥y则x+z≥y+z； 　　若x≥0且y≥0则xy≥0. 　　集合R满足戴德金完备性,即任意R的非空子集S(S∈R,S≠Φ),若S在R内有上界,那么S在R内有上确界. 　　最后一条是区分实数和有理数的关键.例如所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上界,如1.5；但是不存在有理数上确界（因为√2不是有理数）. 　　实数通过上述性质唯一确定.更准确的说,给定任意两个戴德金完备的有序域R1和R2,存在从R1到R2的唯一的域同构,即代数学上两者可看作是相同的.[编辑本段]4、相关性质基本运算 　　实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等,对非负数还可以进行开方运算.实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数.任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开偶次方其结果还是实数. 　　完备性 　　作为度量空间或一致空间,实数集合是个完备空间,它有以下性质： 　　所有实数的柯西序列都有一个实数极限. 　　有理数集合就不是完备空间.例如,(1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,...)是有理数的柯西序列,但没有有理数极限.实际上,它有个实数极限√2.实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法. 　　极限的存在是微积分的基础.实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”. 　　“完备的有序域” 　　实数集合通常被描述为“完备的有序域”,这可以几种解释. 　　首先,有序域可以是完备格.然而,很容易发现没有有序域会是完备格.这是由于有序域没有最大元素（对任意元素z,z+1将更大）.所以,这里的“完备”不是完备格的意思. 　　另外,有序域满足戴德金完备性,这在上述公理中已经定义.上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思.这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法,即从（有理数）有序域出发,通过标准的方法建立戴德金完备性. 　　这两个完备性的概念都忽略了域的结构.然而,有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间,而一致空间又有完备空间的概念.上述完备性中所述的只是一个特例.（这里采用一致空间中的完备性概念,而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性,这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质.）当然,R并不是唯一的一致完备的有序域,但它是唯一的一致完备的阿基米德域.实际上,“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见.可以证明,任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）.这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法,即从（有理数）阿基米德域出发,通过标准的方法建立一致完备性. 　　“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的,他还想表达一些不同于上述的意思.他认为,实数构成了最大的阿基米德域,即所有其他的阿基米德域都是R的子域.这样R是“完备的”是指,在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域.这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法,即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发,从其子域中找出最大的阿基米德域. 　　高级性质 　　实数集是不可数的,也就是说,实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）.这一点,可以通过康托尔对角线方法证明.实际上,实数集的势为2ω（请参见连续统的势）,即自然数集的幂集的势.由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数,绝大多数实数是超越数.实数集的子集中,不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合,这就是连续统假设.该假设不能被证明是否正确,这是因为它和集合论的公理不相关. 　　所有非负实数的平方根属于R,但这对负数不成立.这表明R上的序是由其代数结构确定的.而且,所有奇数次多项式至少有一个根属于R.这两个性质使R成为实封闭域的最主要的实例.证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分. 　　实数集拥有一个规范的测度,即勒贝格测度. 　　实数集的上确界公理用到了实数集的子集,这是一种二阶逻辑的陈述.不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1.Löw