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【高中数学奥林匹克小丛书组合的一道题,(绝对有加分)把n个不同的球,分别放入m个盒子中,使其中m1个盒子中都有p1个球,m2个盒子中都有p2个球……mk个盒子中都有pk个球.这里m=m1+m2+……+mk,n=m1p1】
更新时间:2024-03-28 23:29:16
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问题描述:

高中数学奥林匹克小丛书组合的一道题,(绝对有加分)

把n个不同的球,分别放入m个盒子中,使其中m1个盒子中都有p1个球,m2个盒子中都有p2个球……mk个盒子中都有pk个球.这里m=m1+m2+……+mk,n=m1p1+m2p2+

……mkpk,求下列情况各有多少种放法?

1盒子均不形同(即可辨)

2装有相同数目的球的盒子相同(即不可辨)

1、我们先考虑把n个球放入m个盒内都作直线排列,其排列数为n!,我们把这种排列的产生分为下列几步

第1步,将n个球放入m个盒内,符合题目要求,设有f种放入法

第2步,将m1个盒子中的每个盒内均放有的p1个球作直线排列,有(p1!)^m1种排法

第3步将m2个盒子中的每个盒子内均装有的p2个球都做直线排列,有(p2!)^m2种排法

…第k+1步,将mk个盒子中的每个盒子内均装有的pk个球都做直线排列,有(pk!)^mk种排法.

由乘法原理得fx(p1!)^m1x(p2!)^m2x……x(pk!)^mk=n!

所以符合题目要求的放法数目为f=n!/(p1!)^m1x(p2!)^m2x……x(pk!)^mk

2、因为装有相同个数球的盒子不可辨,(它们之间交换顺序是同一种装球方法),故符合题意的方法数为

f/(m1!)(m2!)…(mk!)

彭映斌回答:
  可能只能姑且理解为题意是前m1个盒子中都有p1个球,之后m2个盒子中都有p2个球……   要不然把n个球放入m个盒内不会只有n!种排列方法吧,貌似只能理解为放p1个球的盒子不能与放p2个球的盒子交换……
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